Exemple de fonction continue non uniformément continue

Pour les transformations linéaires f: V → W {displaystyle f:Vto W}, la continuité uniforme équivaut à la continuité. Même l`impartialité ne serait pas utile, la fonction Sin (1/x) est limitée et continue sur l`intervalle délimité (0,1), mais il n`est pas uniformément continu, car il a infiniment beaucoup de vagues de hauteur 2 pressé à côté de l`origine, ce qui signifie que, avec même très (arbitrairement ) minuscules étapes on peut aller du haut d`une vague au fond d`un autre (voir Sin (1/x) en théorie-fonction élémentaire). Puis une fonction continue f: S → R {displaystyle f:Srightarrow R} s`étend à tous X si et seulement si f est Cauchy-Continuous, i. Le delta que nous trouvons “à l`extrémité gauche” fonctionnera partout. La différence entre être uniformément continue, et être simplement continue à chaque point, est que dans la continuité uniforme la valeur de δ ne dépend que de ε et non sur le point dans le domaine. Considérez par exemple la fonction f: R → R, x ↦ x 2 {displaystyle fcolon mathbb {R} rightarrow mathbb {R}, xmapsto x ^ {2}}. Par exemple, toute isométrie (carte de préservation de la distance) entre les espaces métriques est uniformément continue. La définition de la continuité uniforme apparaît plus tôt dans les travaux de Bolzano où il a également prouvé que les fonctions continues sur un intervalle ouvert n`ont pas besoin d`être uniformément continues. Au niveau du précalcul, la fonction f: x ↦ a x {displaystyle f:xmapsto a ^ {x}} peut être donnée une définition précise uniquement pour les valeurs rationnelles de x (en supposant l`existence de QTH racines de nombres réels positifs, une application du théorème de la valeur intermédiaire). Veuillez expliquer strictement en utilisant les définitions pertinentes. Théorème. Lorsque nous avons défini la continuité, c`était une notion locale. Cauchy-continue, donc f s`étend à une fonction continue sur I.

Les déclarations mathématiques qu`une fonction est continue sur un intervalle I et la définition qu`une fonction est uniformément continue sur le même intervalle sont structurellement très similaires. La continuité elle-même est une propriété locale d`une fonction, c`est-à-dire qu`une fonction f est continue, ou non, à un point particulier, et cela peut être déterminé en ne regardant que les valeurs de la fonction dans un voisinage (arbitrairement petit) de ce point. En général, la continuité Cauchy est nécessaire et suffisante pour l`extension de f à l`achèvement de X, est donc a priori plus forte que l`extention à X. Toutefois, l`image d`un sous-ensemble délimité d`un espace métrique arbitraire sous une fonction uniformément continue n`a pas besoin d`être délimitée: en tant que contreexemple, considérez la fonction d`identité des entiers dotés de la métrique discrète aux entiers dotés de la métrique euclidienne habituelle. Pour une fonction entre les espaces métriques, la continuité uniforme implique une continuité Cauchy (Fitzpatrick 2006). Il est donc nécessaire et suffisant de prolonger f à la fermeture de S en X: c`est, nous pouvons supposer sans perte de généralité que S est dense en X, et cela a la conséquence plus agréable que si l`extension existe, il est unique. Chaque fonction uniformément continue entre les espaces métriques est continue. En fait, le point un cesse d`être spécial, nous traitons avec des paires de points. Notez que les deux conditions sur l`ensemble sont nécessaires. Merci de votre intérêt pour cette question. Voulez-vous répondre à l`une de ces questions sans réponse à la place? Comme le nom et les paragraphes ci-dessus suggèrent, la continuité uniforme est plus que la continuité.

Les fonctions uniformément continues sont plus agréables à travailler. Quand nous parlons d`une fonction étant continue sur un intervalle, nous entendons seulement qu`il est continu à chaque point de l`intervalle. Étant donné les espaces métriques (X, D1) et (Y, D2), une fonction f: X → Y est appelée uniformément continue si pour chaque nombre réel ε > 0 il existe δ > 0 de telle sorte que pour chaque x, y p. x avec D1 (x, y) < δ, nous avons que D2 (f (x) , f (y)) < ε.